埼大'17第1問　加法定理、数学的帰納法 - テージー先生の準備部屋

次の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とする。三角関数の加法定理を用いて、等式

　　 $\cos(n+2)\theta +\cos n\theta =2\cos\theta \cos (n+1)\theta$

を導け。

(2) $\cos 2\theta =T_2(\cos\theta), \cos 3\theta =T_3(\cos\theta)$ を満たす整式 $T_2(x), T_3(x)$ をそれぞれ求めよ。

(3) 自然数 $n$ に対し、 $\cos n\theta =T_n(\cos\theta)$ を満たす整数係数の $n$ 次の整式 $T_n(x)$ が存在することを示せ。

(4) 自然数 $k$ に対し、 $\cos \dfrac{\pi}{4k}$ は無理数であることを示せ。ただし、 $\sqrt2$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

(コメント)

(1)は加法定理を用いて〜とあるので、和積の公式などをみちびくときにやる、 $\cos(\alpha+\beta)$ と $\cos(\alpha-\beta)$ のを並べて足すみたいな素直な方法がよいと思われる。半角や二倍角をゴリゴリと持ち出さないほうがいいとおもう。

(3)2つ前までの仮定を使う、帰納法。慣れていれば難しくないと思うけど一般の高校生ってこれ学校でやるのかな？

(4)めちゃ丁寧に誘導があるので何をすればよいのかでは迷わないと思う。